2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（理科数学）
第1卷
一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若复z=（x-1）-(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
2．函数 的定义域为
A．（-4，-1） B. (-4 , 1) C. (-1, 1) D. (-1, 1］
3. 已知全集U=A B中有m个元素，（ A） （ B）中有n个元素。若A B非空，则A B的元素个数为
A．mn B. m+n C. n-m D. m-n
4．若函数 =（1+ tanx）cos, 0 x＜ ,则 的最大值为
A．1 B. 2 C. +1 D. +2
5. 设函数 = + ，曲线y= 在点（1， ）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y= 在点（1， ）处切线的斜率为
A．4 B. - C. 2 D. -
6．过椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点 作x轴的垂线交椭圆于点P， 为右焦点，若 P = ，则椭圆的离心率为
A． B. C. D.
7 1+a+b 展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为为32，则a，b，n的只可能为
A a=2 b=-1 n=5 B a=-2 b=-1 n=6
C a=-1 b=2 n=6 D a=1 b=2 n=5
8 数列{ } 的通项 ，其前n项和为 ，则为
A 470 B 490 C 495 D 510
9 如图，正四面体ABCD的顶点 分别在两两垂直的 三条射线 ， 上，则在下列命题中，错误的为
A 正三棱柱
B 直线 平面
C 直线 与 所成的角是
D 二面角 为
10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机状如一张卡片，集齐3种卡片可兑换，先购买该食品5袋，能获奖的概率为
A B C D
11一个平面封面区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周律”下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右一次记为 则下列关系正确的为
A． ＞ ＞ B. ＞ ＞ C. ＞ ＞ D. ＞ ＞
12．设函数 = （a＜0）的定义域为D，若所有点（s,f(t)）,(s,t D)构成一个正方形区域，则a的则值为
A．-2 B. -4 C. -8 D. 不能确定
第II卷
填空题，本大题4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。
13、已知向量 =（3，1） ， =（1，3）， =（k，7）,若（ - ）// ,则k = .
14、正三棱柱ABC - 内接予半径为2的球，若A , B 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 。
15、若不等式 的解集为区间【a , b】,且b –a=2 , 则k=
16、设直线系 ，对于下列四个命题：
A M中所有直线均经过一个定点
B 存在定点P不在M中的任一条直线上
C 对于任意整数n (n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上
D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）
三.解答题：本小题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数
（1）求函数 的单调区间
（2）若k>0，求不等式> 的解集。
18．(本小题满分12分)
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审，假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 ，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示该公司的资助总额。
（1）写出 的分布列；（2）求数学期望E 。
19.（本小题满分12分）
中，A,B,C所对的边分别为a, b, c, tanC= ,sin(B-A)=cos C
(1) 求A, C
(2) 若 =3+ ,求a, c.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC为中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N。
（1） 求证：平面ABM 平面PCD；
（2） 求直线CD与平面ACM所夹的角的大小；
（3） 求点N到平面ACM的距离。
21．（本小题满分12分）
已知点 为双曲线 为正常数）上任一点 为双曲线的右焦点，过 作右准线的垂线，垂足为A，连接 并延长交 轴于点 。
（1） 求线段 的中点P的轨迹F的方程；
（2） 设轨迹E与 轴交于B，D两点，在E上任取一点Q 直线QB，QD分别交于 轴于M，N两点。求证：以MN为直径的圆过两定点。
22、(本小题满分14分)
各项均为正数的数列{ } ， = a , = b ,且对满足m+n=p+q 的正整数m，n， p ，q 都有
（1）当 ， 时，求通过 ；
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数 ，使得对于每一个正整数n，都有